צהריים, 26 באוגוסט, מדבר סינַי
זהו יום הולדתי ה-.40 טמפרטורה של 40 מעלות. אני מרוח בקרם הגנה מספר 40, מתחבא בצל של בקתת קנים על אחת מגדותיו של ים סוּף. עֲרָב הסעודית מבליחה מעבר למים הכחולים. הרחק בים, הגלים משתברים במָקום שבו שונית האלמוגים מגיעה לקרקעית. הרי סיני מתנשאים מאחורי.
בדרך כלל איני מוטרד כל-כך מימי הולדת, אבל למתמטיקאי, גיל 40 הוא משמעותי – לא בגלל נוּמֶרוֹלוֹגיה נסתרת ומשונה, אלא בגלל אמונה שיש לרבים, ולפיה העבודה הטובה ביותר נעשית עד גיל .40 המתמטיקה, כך אומרים, היא משחק של צעירים. עכשיו, כש-40 שנה עברו עלי בנדידה בגני המתמטיקה, האם יש משמעות לכך שאני נמצא בסיני – במדבר השומם, שאומה גולה נדדה בו 40 שנה? מדליית פִילְדְס (Fields), שהיא תואר-הכבוד הגבוה ביותר במתמטיקה, מוענקת רק למתמטיקאים מתחת לגיל .40 מספר מדליות מוענקות כל ארבע שנים. בזמן הזה בשנה הבאה יוכרזו הזוכים הבאים במדריד, אלא שאני כבר מבוגר מדי בשביל לקוות להיכלל ברשימה.
כילד, כלל לא רציתי להיות מתמטיקאי. בגיל מוקדם החלטתי שאני הולך ללמוד שפות באוניברסיטה. הבנתי כי זהו הסוד להגשמת החלום האולטימטיבי שלי: להיות מרגל. אמי עבדה במשרד החוץ לפני שהתחתנה. בסגל הדיפלומטי של שנות השישים של המאה שעברה לא חשבו שאמהוּת עולה בקנה אחד עם משׂרת דיפלומט, אז היא פרשה מן השירות. אבל היא מספרת שהם הרשו לה לשמור על האקדח השחור הקטן שכל עובד של משרד החוץ נדרש לשאת עימו. "אי-אפשר לדעת מתי הם עוד יקראו לך לאיזו משימה חשאית מעבר לים," אמרה בלי לפרש. היא טענה שהאקדח מוחבא במקום כלשהו בבית.
בבית-הספר למדתי כל שפה אפשרית: צרפתית, גרמנית ולטינית. ה-BBC התחיל לשדר קורס רוסית בטלוויזיה. המורֶה שלי לצרפתית, מר בְּראוּן, ניסה לעזור לי בכך. אבל אף פעם לא הצלחתי לבטא את המלה "שלום" – זְדְרַבְסְטְבוּיְטִי – וגם אחרי שמונה שבועות של הקורס לא הצלחתי בכך. התחלתי להתייאש. נעשיתי גם יותר ויותר מתוסכל מכך שבשפות אחרות אין היגיון בהטייתם של פעלים מסוימים, ולא ברור מדוע שמות-עצם מסוימים הם זכר ולא נקבה. עדיין תליתי תקווה קלושה בלטינית, כיוון שהדקדוק הנוקשה שלה קסם לתשוקתי המתעוררת לדברים שהם חלק ממערכת עקבית ולוגית, מערכת שאינה מורכבת רק מאסוציאציות אקראיות-לכאורה. אולי זה היה גם משום שהמורה שלי תמיד השתמש בשמי כדי להדגים את גלגוליו של שם-העצם בלטינית: מרכּוס, מרכֶּה, מרכּוּם, ...
יום אחד, כשהייתי בן 12, הצביע המורה למתמטיקה לעברי בכיתה ואמר, "דוּ סוֹטוֹי, חכה לי אחרי השיעור." הייתי בטוח שאני בצרות. הלכתי אחריו החוצה, וכשהגענו לאחורי אגף המתמטיקה, הוא הוציא סיגר מכיסו. הוא הסביר כי שם הוא נוהג לעשן בזמן ההפסקה. המורים האחרים לא אוהבים את העשן בחדר המורים. הוא הדליק את הסיגר באיטיות ואמר לי, "אני חושב שאתה צריך לגלות במה באמת עוסקת המתמטיקה."
אפילו עכשיו איני יודע מדוע בחר דווקא בי מכל הילדים בכיתה כדי שאצעד בכיווּן של הגילוי הזה. בכלל לא הייתי ילד פלא במתמטיקה, ונדמה לי שהרבה מחברַי היו טובים בזה לא פחות ממני. אבל ברור שמשהו גרם למר בֵּיילסוֹן לחשוב שאולי יש בי תשוקה לדעת מה מצוי מעבר לחשבון של בית-הספר.
הוא אמר לי שכדאי לי לקרוא את הטור של מרטין גַרְדְנֶר (Gardner) בכתב-העת Scinetific American. הוא נתן לי שמות של כמה ספרים שחשב שימצאו חן בעיני, וביניהם אחד שנקרא The Language of Mathematics מאת פרנק לֶנד (Land). עצם העובדה שמוֹרה מתעניין בי באופן אישי הספיקה כדי לדרבן אותי לבדוק מהו אותו דבר שבעיניו היה כל-כך מסקרן בתחום הזה.
בדרכנו מטה נִגלה בפנינו חלל עצום, מלא ודחוס במה שנראה לי כמו כל ספר מדע אפשרי שיצא לאור אי-פעם. זו היתה מערת אלאדין של ספרי המדע. איתרנו את המדפים המוקדשים למתמטיקה, ובזמן שאבי חיפש את הספרים שהמורה שלי המליץ עליהם, התחלתי אני להוריד ספרים מן המדפים ולבחון אותם. מסיבה כלשהי, היה נדמה כי יש שם ריכוז גבוה של ספרים צהובים. אך מה שמשך את תשומת ליבי היה מה שמצאתי בתוך הכריכות הצהובות. התוכן נראה יוצא מן הכלל. זיהיתי מחרוזות של אותיות יווניות מן הגיחה שלי ללימוד יוונית. היו שם המוני אותיות ומספרים קטנטנים שעיטרו x-ים ו-y-ים. בכל עמוד היו מילים מודגשות כמו "לֶמָה" ו"הוכחה".
לא היתה לזה שום משמעות בשבילי. כמה סטודנטים נשענו שם על מדפי הספרים ונראו כאילו הם קוראים את הספרים כמו רומנים. לא היה ספק: הם הבינו את השפה. זה פשוט היה צופן למשהו. מאותו רגע גמלה בליבי ההחלטה ללמוד כיצד לפענח את ההִיֶרוֹגְלִיפִים המתמטיים הללו. כאשר שילמנו בקופה, הבחנתי בשולחן עמוס חוברות בכריכה צהובה. "אלה כתבי-עת מתמטיים," הסביר המוכר. "המו"לים מחלקים עותקים בחינם כדי לשכנע אקדמאים לעשות מינוי."
לקחתי עותק של כתב-עת שנקרא Inventiones Mathematica (המצאות מתמטיות) ושַׂמתי
אותו בשקית יחד עם הספרים שזה עתה קנינו. כאן היה האתגר שלי. האם אוכל לפענח את
ההמצאות המתמטיות שבספר הצהוב הזה? חלק מן המאמרים היו בגרמנית, אחד היה בצרפתית,
והשאר באנ
בספר הזה לא היה חילוק ארוך עם המון ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ושום דבר אחר מעין זה. במקום זאת היו, למשל, סדרות חשובות של מספרים כמו סידרת פִיבּוֹנָצִ'י (Fibonacci). מסתבר, אמר הספר, שהמספרים הללו מסבירים איך צומחים פרחים וקונכיות. אפשר לקבל כל מספר בסידרה על-ידי חיבור שני המספרים הקודמים. הסידרה מתחילה כך, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., והספר הסביר כיצד המספרים הללו הם כמו צופן שאומר לקונכייה איך להתקדם לשלב הבא בגדילה. חילזון זעיר מתחיל עם בית ריבועי קטן בגודל 1x1. בכל פעם שהוא נעשה גדול מן הקונכייה שלו, הוא מוסיף עוד חדר לבית. אבל כיוון שאין לו הרבה על מה לבנות, הוא פשוט מוסיף חדר שממדיו הם סכום הממדים של שני החדרים הקודמים. תוצאת הגידול הזה היא ספירלה (איור 1). זה היה יפה ופשוט. המספרים הללו חשובים ביותר כדי להבין את דרכו של הטבע לגדל דברים, אמר הספר.
עמודים אחרים תיארו גופים תלת-ממדיים מעניינים שלא ראיתי אף פעם לפני כן – גופים המורכבים ממחומשים וממשולשים. אחד מהם נקרא איקוֹסָהֶדרוֹן (Icosahedron), או עֶשׂרימוֹן, והיו לו עשרים פאות משולשות (איור 2). מסתבר שאם לוקחים את אחד הגופים הללו (הספר קרא להם פְּאוֹנים) וסופרים את מספר הפאות והקודקודים, ואז מחסירים את מספר המקצועות, תמיד מקבלים .2 למשל, לקובייה יש 6 פאות, 8 קודקודים ו-12 מקצועות: 6+12-8=2. הספר טען שהתחבולה הזאת תעבוד עבור כל פֵּאוֹן. זה נראה קצת כמו קסם. ניסיתי זאת עם הפאון הבנוי מ-20 משולשים.
הצרה היא שהיה לי די קשה לדַמות לעצמי את כל הגוף בבהירות מספקת כדי לספור הכול. גם אילו בניתי אחד כזה מקרטון, המעקב אחר כל המקצועות הללו היה קצת מרַפּה ידיים. אבל אז אבי הראה לי קיצור-דרך. "כמה משולשים יש לך?" טוב, הספר אמר שיש .20 "אז ל-20 משולשים יש 60 מקצועות, אבל כל מקצוע הוא משותף לשני משולשים. יוצא שיש 30 מקצועות." זה כבר באמת היה קסם. אפשר היה לחשב כמה מקצועות יש לעֶשׂרימון בלי להסתכל עליו. אותה התחבולה עבדה עם הקודקודים. שוב, ל-20 משולשים יש 60 קודקודים. אבל במקרה הזה יכולתי לראות מן האיור שכל קודקוד משותף לחמישה משולשים. אז לעֶשׂרימון יש 20 פאות, 12 קודקודים ו-30 מקצועות. ובאמת, 20+30-12=2. אבל מדוע הנוסחה הזאת עובדת עבור כל פאון שבוחרים?
בספר אחר היה פרק שלם על הסימטריה של גופים כמו הפְּאוֹנים הללו שבנויים ממשולשים. היה לי מושג קלוש מה פירושה של "סימטריה". ידעתי שאני סימטרי, לפחות מבחוץ. לכל מה שיש לי בצד שמאל של גופי יש דמות-מראָה בצידי הימני. אבל למשולש, כך נדמה, יש סימטריה רבה יותר מאשר סימטריית המַראָה לבדה. אפשר גם לסובב אותו והוא עדיין ייראה אותו דבר. התחלתי להבין שאני לא ממש בטוח מה פירוש הדבר כשאומרים שמשהו הוא סימטרי.
חיפשתי בכל כוחי כדי לגלות אם החמצתי משהו. ניסיתי לשלב פעולות כדי לראות אם אצליח לקבל פעולה חדשה. אחרי הכול, ביצוע שתי פעולות כאלה בזו אחר זו היה בעצם כמו ביצוע פעולה אחת. אם סימטריה היא פעולה שמחזירה את המשולש לתוך קו המִתאר שלו, אז אולי אצליח למצוא פעולה חדשה או סימטריה חדשה. מה אם אהפוך את המשולש ואז אסובב אותו? לא, זה היה בדיוק כמו אחד מן ההיפוכים האחרים. מה לגבי היפוך, סיבוב והיפוך בחזרה? לא, זה פשוט יוצר סיבוב בכיוון ההפוך, ואותו כבר ספרתי. מצאתי חמש פעולות, ואף שילוב שלהן לא יצר משהו חדש. אז חזרתי אל הספר.
מה שגיליתי הוא שהם מחשיבים כסימטריה גם את השארת המשולש כפי שהוא. מעניין... אלא שעד מהרה למדתי שאם סימטריה פירושה כל דבר שאפשר לעשות למשולש שישאיר אותו בתוך קו המִתאר שלו, אז אם לא נוגעים בו בכלל – או באופן שהוא בעצם שקול לכך, מרימים אותו ומניחים אותו בדיוק באותו מקום – גם זאת פעולה שיש לכלול אותה.
רעיון הסימטריה מצא חן בעינַי. הסימטריוֹת של גוף כלשהו נראו לי קצת כמו כל תחבולות הקסם האפשריות. המתמטיקאי מראה לכם משולש, ואז הוא אומר לכם להסתובב. בזמן שאתם לא מסתכלים, המתמטיקאי עושה משהו למשולש. והנה, כשאתם מסתובבים בחזרה, המשולש נראה בדיוק כפי שהיה קודם לכן. כך שאפשר לחשוב על הסימטריה הכוללת של גוף כעל סך כל הפעולות שהמתמטיקאי יכול לעשות כדי לגרום לכם לחשוב שהוא בכלל לא נגע בו.
ניסיתי את הקסם הזה על כמה צורות אחרות. היתה שם צורה מעניינת, שנראתה כמו כוכב-ים בעל שש זרועות (איור 3). לא הצלחתי להפוך אותו בלי לגרום לו להיראות שונה: הוא נראָה כאילו סובבו אותו בכיווּן אחד, מה שהרס את סימטריית שיקוף-המראָה שלו. אבל כן יכולתי לסובב אותו. עם שש הזרועות שלו, היו חמישה סיבובים שיכולתי לעשות, וגם פשוט להשאיר אותו בַּמקום. שש סימטריות. אותו מספר כמו למשולש.
לכל אחד מן הגופים הללו יש מספר זהה של סימטריוֹת. אבל הספר דיבר על שפה המסוגלת לומר "לשני הגופים הללו יש סימטריות שונות" ולתת לכך משמעות. השפה הזאת תגלה מדוע הגופים הללו מייצגים שני מינים שונים בעולם הסימטריה. הספר גם הבטיח שהיא מסוגלת לחשוף מקרים שבהם לשני גופים שנראים שונים חיצונית יש בעצם סימטריוֹת זהות. זה היה המסע שעמדתי לצאת אליו: לגלות מהי הסימטריה באמת.
ככל שהמשכתי לקרוא, התחלפו הצורות והאיורים בסמלים. זאת היתה השפה שכותרת הספר התייחסה אליה. התברר שיש דרך לתרגם את התמונות לשפה. נתקלתי עכשיו בכמה מן הסמלים שראיתי בכתב-העת הצהוב שלקחתי בחנות. הכול התחיל להיות מאוד מופשט, אבל השפה הזאת כאילו ניסתה לתאר את מה שגיליתי בשעה ששיחקתי עם שש הסימטריות של המשולש. אם לוקחים שתי סימטריות או שני פעלולי קסם, ומבצעים אותן בזו אחר זו – למשל, שיקוף ואחריו סיבוב – מקבלים סימטריה שלישית. לשפה שתיארה את יחסי-הגומלין הללו היה שֵׁם: תורת החבורות (group theory).
השפה הזאת איפשרה להבין מדוע שש הסימטריות של כוכב-הים המשושה שונות משש הסימטריות של המשולש. סימטריה היא אחד מפעלולי הקסם הללו, כך שיכולתי לבצע שתי סימטריות של גוף בזו אחר זו כדי לקבל סימטריה שלישית. בתוך חבורת הסימטריות של כוכב-הים ישנם יחסי-גומלין שונים מאוד מאלה שבחבורת הסימטריות של המשולש. מה שמבדיל את חבורת הסימטריה של המשולש מחבורת הסימטריה של כוכב-הים המשושה הוא יחסי-הגומלין בתוך חבורת הסימטריה של כל אחד מן הגופים הללו.